Cenni teorici

La procedura è proposta dalla Direttiva del presidente del consiglio dei ministri 9 febbraio 2011 - Valutazione e riduzione del rischio sismico del patrimonio culturale con riferimento alle norme tecniche per le costruzioni di cui al decreto del Ministro delle infrastrutture e dei trasporti del 14 gennaio 2008.

Per palazzi, ville ed altre strutture con pareti di spina ed orizzontamenti intermedi, le linee guida propongono una tecnica di calcolo semplificata che sostituisce l’analisi di tipo globale ma non quella di tipo locale che deve essere sempre effettuata secondo quanto previsto dal punto C8A.4 della Circolare. Secondo le direttive, con riferimento alla condizione che porta al raggiungimento dello SLV è possibile ricavare il valore dell’ordinata dello spettro di risposta elastico legato alla resistenza della costruzione:

                 (1)

dove

• F_SLV è la resistenza a taglio dell’edificio;
• q è il fattore di struttura. Questo dato può essere ricavato da quanto riportato nelle NTC e nella relativa Circolare. Per edifici esistenti a più piani il valore può essere assunto pari a 2.7 se non regolari in altezza e pari a 3.6 se regolari. Per tutti gli altri casi consultare le suddette normative;
• M è la massa sismica totale;
• e* è la frazione di massa partecipante del primo modo di vibrazione.

Noto il valore dell’ordinata dello spettro di risposta (S_e) è possibile determinare il tempo di ritorno (T_SLV) corrispondente. Quest’ultimo si valuta iterativamente scegliendo il valore che restituisce lo stesso S_e calcolato dalla (1). Noto il tempo di ritorno T_SLV così valutato, è possibile definire tutti gli altri parametri che definiscono lo spettro (a_g, F₀ e T*_C) attraverso la seguente espressione (fornita dall’Appendice A del D.M. 14/01/2008):

                 (2)

dove p è a_g, F₀ e T*_C.

Il valore dell’accelerazione, riferita al suolo rigido (categoria di sottosuolo A), che porta al raggiungimento dello stato limite ultimo può essere ricavato dalle (3):

                 (3)

dove

• T₁ è il periodo fondamentale di vibrazione della struttura;
• T_B,T_C e T_D sono i periodi caratteristici dello spettro di risposta definito al punto 3.2.3.2 delle NTC;

Le (3) sono ricavate dalle relazioni (3.2.4) riportate nel D.M. 14/01/2008. Si ritiene che la tipologia di manufatti interessati da questo documento abbiano sempre periodo fondamentale inferiore a T_D (in ogni caso la seconda relazione fornisce un valore cautelativo). Se la struttura ha periodo inferiore a T_B si suggerisce comunque di utilizzare la prima relazione.

La resistenza a taglio F_SLV dell’edificio viene ottenuta come la minore tra quelle valutate secondo due direzioni principali, scelte in genere secondo gli assi prevalenti dei muri portanti, prendendo in esame l’eventualità del collasso ai diversi piani della costruzione. Il modello consiste nel considerare, per ciascuna direzione, i pannelli murari portanti verticali e nell’ipotizzare che il collasso avvenga quando la tensione tangenziale media raggiunge un’opportuna quota parte della resistenza a taglio del materiale. In definitiva, la resistenza a taglio riportata nella (1) deve essere valutata per entrambe le direzioni principali del manufatto e per ogni piano (per esempio, per gli edifici composti da due piani occorre valutare il dato F_SLV quattro volte). La suddetta resistenza a taglio può essere valutata dalle seguenti:

                 (4.a)

                 (4.b)

Nelle precedenti il pedice “i” si riferisce all’i-esimo piano. Di seguito si descrivono dettagliatamente tutti i parametri:

• A_xi ed A_yi sono le aree resistenti a taglio dei muri dell’i-esimo piano, posti secondo la direzione x ed y rispettivamente. L’area dei pannelli inclinati deve essere valutata tenendo conto del cos(). L’angolo è valutato tra l’asse x ed il piano della parete per i pannelli pressoché in direzione x e tra l’asse y ed il piano della parete per i pannelli pressoché in direzione y;
• _di è il valore di calcolo della resistenza a taglio della muratura dei maschi murari del piano i-esimo dato dalla seguente:

                                   (5)

• _0d è il valore di calcolo della resistenza a taglio della muratura (valutato tenendo conto del fattore di confidenza F_C e del coefficiente di sicurezza _m);
• _0i è la tensione verticale media sulla superficie resistente dei muri all’i-esimo piano;
• _i è il rapporto tra la risultante delle forze sismiche al piano i-esimo e la forza sismica totale. Nei casi in cui l’edificio abbia masse ed altezze pressoché uguali ai vari piani, il coefficiente può essere valutato approssimativamente dalla seguente:

                                   (6)

• _xi e _yi sono coefficienti che tengono conto dell’irregolarità in pianta dell’i-esimo piano e si possono ricavare dalle seguenti:

                                   (7.a)

                                   (7.b)

dove si indica con e_yi l’eccentricità lungo y tra il baricentro delle rigidezze e quello delle masse dell’i-esimo piano (analogamente per e_xi) e con d_yi la distanza in y tra il baricentro delle rigidezze e la parete in direzione x più distante dell’i-esimo piano (analogamente per d_xi). C’è da sottolineare che i coefficienti possono assumere al massimo il valore 1.25 (nei casi in cui è difficoltoso valutare il coefficiente attraverso le (7) si può semplificare a vantaggio di sicurezza assumendo il valore più gravoso);

• _xi e _yi sono coefficienti che tengono conto dell’omogeneità di rigidezza e resistenza dei maschi murari e possono essere valutati attraverso le seguenti:

                                   (8.a)

                                   (8.b)

dove si indica con N_mxi ed N_myi il numero di maschi murari del piano i-esimo in direzione x ed y rispettivamente, con A_xi,j ed A_yi,j l’area della sezione trasversale dell’j-esimo maschio dell’i-esimo piano in direzione x ed y rispettivamente e con A_xi ed A_yi la somma delle aree delle sezioni trasversali di tutti i maschi dell’i-esimo piano in direzione x ed y rispettivamente. Il dato più restrittivo per il coefficiente è 0.8;

• _xi ed _yi sono coefficienti legati al tipo di rottura dei maschi murari dell’i-esimo piano. Se i maschi murari sono prevalentemente snelli (o poco caricati verticalmente o in presenza di fasce deboli) per i quali si può ipotizzare una rottura per pressoflessione, i coefficienti assumono il valore 0.8, mentre, se sono prevalentemente tozzi per i quali si può ipotizzare la rottura per taglio, i coefficienti assumono il valore 1. Il dato più restrittivo per il coefficiente è 0.8;
• _x e _y sono coefficienti legati alla resistenza delle fasce murarie di piano nelle pareti disposte in direzione x ed y rispettivamente; essi valgono 1 nel caso di fasce resistenti (rottura dei maschi murari verticali), mentre possono assumere un valore minore (fino a 0.8) nel caso di fasce deboli, non in grado di bloccare la rotazione alle estremità dei maschi murari. Il dato più restrittivo per il coefficiente è 0.8;

La massa sismica totale M che compare nella (1) è quella associata ai carichi gravitazionali è può essere valutata attraverso la (9):

                  (9)

nella quale N è il numero di piani, G_k è il valore caratteristico dei carichi permanenti di tutta la struttura, Q_kj è il valore caratteristico dei carichi variabili al piano j-esimo, _2j è un coefficiente di combinazione che tiene conto della probabilità che i carichi variabili al piano j-esimo siano presenti in occasione del sisma (vedi tabella 2.5.I del D.M. 14/01/2008) e g è l’accelerazione di gravità.

La frazione di massa partecipante e* che compare nella (1) può essere valutata attraverso la (10):

                  (10)

dove si indica con _j la componente j-esima del vettore che rappresenta la prima forma modale assunta (adimensionalizzato al valore unitario in sommità dell’edificio) e con m_j la massa del j-esimo piano. Nel caso in cui si possono assumere sostanzialmente costanti sia l’altezza di interpiano che la massa di piano, la formulazione può essere semplificata come segue:

                  (11)

Nel caso in cui non viene valutato il vettore che definisce la prima forma modale, la frazione di massa partecipante e* si può approssimativamente valutare attraverso la seguente:

                  (12)